triângulo de pascal

curiosidade produtos notáveis

gosto 10, 2008 — Sandra Di Flora
Suponha que se deseja calcular o produto do tipo (a + b).(a + b) ou ( a + b )2.
É claro que um aluno do oitavo ano saberá identificar, imediatamente, que se trata de um produto notável, mais conhecido como “o quadrado da soma de dois termos” e que a regra prática para o seu desenvolvimento é:

“o quadrado do primeiro termo, mais o dobro do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”

isto é:

a2 + 2.a.b + b2

Além disso, esse mesmo aluno consegue, facilmente, demonstrar através da propriedade distributiva a veracidade de tal regra:

( a + b ).( a +b ) = a.a + a.b + b.a + b.b = a2 + 2.a.b + b2

Mas, talvez, não imagine que esse produto notável tão famoso pudesse ser obtido através do triângulo aritmético conhecido como o “Triângulo de Pascal”:



Observando os números da terceira linha do triângulo ( 1 , 2 , 1 ) pode-se perceber que eles representam os coeficientes de a2 , a.b e b2 , ou seja: 1.a2 + 2.a.b + 1.b2.

O mais interessante, ainda, é que através do Triângulo de Pascal pode-se desenvolver, além do produto notável ( a + b )2 , outros produtos do tipo ( a + b )3 , ( a + b )4 e, assim por diante …

( a + b )3 = 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + 1.b3 ( quarta linha )

( a + b )4 = 1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 + 1.b4 ( quinta linha )

( a + b )5 = 1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5 ( sexta linha )

A partir desse momento da leitura, cabe perguntar: como os termos foram obtidos nos desenvolvimentos acima,?

Simples:
· em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a pelo termo b, isto é a.b ;
· a partir do primeiro monômio os expoentes de a vão “decrescendo” e os de b vão “crescendo”;
· a soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual ao expoente do binômio;
· o primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é zero;
· o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio;
· a expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio.

Vamos observar, por exemplo, o desenvolvimento de ( a + b )5

1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5

Na verdade, o desenvolvimento desse binômio é:

1.a5 .b0 + 5.a4.b1 + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a1.b4 + 1.a0.b5

· em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que a0 = b0= 1, a1= a , b1= b)
· expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0 (ordem decrescente)
· expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (ordem crescente)
· soma do expoentes de a e de b em cada monômio:5 (expoente do binômio)
· a expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1)

Agora, responda às perguntas:
a) Quais são as regras de construção do Triângulo de Pascal?
b) Quais são as linhas de número 7, 8 e 9 do Triângulo de Pascal?
c) Qual é o desenvolvimento do binômio ( a + b )6?