terça-feira, 28 de dezembro de 2010
curiosidade produtos notáveis
gosto 10, 2008 — Sandra Di Flora
Suponha que se deseja calcular o produto do tipo (a + b).(a + b) ou ( a + b )2.
É claro que um aluno do oitavo ano saberá identificar, imediatamente, que se trata de um produto notável, mais conhecido como “o quadrado da soma de dois termos” e que a regra prática para o seu desenvolvimento é:
“o quadrado do primeiro termo, mais o dobro do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”
isto é:
a2 + 2.a.b + b2
Além disso, esse mesmo aluno consegue, facilmente, demonstrar através da propriedade distributiva a veracidade de tal regra:
( a + b ).( a +b ) = a.a + a.b + b.a + b.b = a2 + 2.a.b + b2
Mas, talvez, não imagine que esse produto notável tão famoso pudesse ser obtido através do triângulo aritmético conhecido como o “Triângulo de Pascal”:
Observando os números da terceira linha do triângulo ( 1 , 2 , 1 ) pode-se perceber que eles representam os coeficientes de a2 , a.b e b2 , ou seja: 1.a2 + 2.a.b + 1.b2.
O mais interessante, ainda, é que através do Triângulo de Pascal pode-se desenvolver, além do produto notável ( a + b )2 , outros produtos do tipo ( a + b )3 , ( a + b )4 e, assim por diante …
( a + b )3 = 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + 1.b3 ( quarta linha )
( a + b )4 = 1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 + 1.b4 ( quinta linha )
( a + b )5 = 1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5 ( sexta linha )
A partir desse momento da leitura, cabe perguntar: como os termos foram obtidos nos desenvolvimentos acima,?
Simples:
· em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a pelo termo b, isto é a.b ;
· a partir do primeiro monômio os expoentes de a vão “decrescendo” e os de b vão “crescendo”;
· a soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual ao expoente do binômio;
· o primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é zero;
· o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio;
· a expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio.
Vamos observar, por exemplo, o desenvolvimento de ( a + b )5
1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5
Na verdade, o desenvolvimento desse binômio é:
1.a5 .b0 + 5.a4.b1 + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a1.b4 + 1.a0.b5
· em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que a0 = b0= 1, a1= a , b1= b)
· expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0 (ordem decrescente)
· expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (ordem crescente)
· soma do expoentes de a e de b em cada monômio:5 (expoente do binômio)
· a expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1)
Agora, responda às perguntas:
a) Quais são as regras de construção do Triângulo de Pascal?
b) Quais são as linhas de número 7, 8 e 9 do Triângulo de Pascal?
c) Qual é o desenvolvimento do binômio ( a + b )6?
Suponha que se deseja calcular o produto do tipo (a + b).(a + b) ou ( a + b )2.
É claro que um aluno do oitavo ano saberá identificar, imediatamente, que se trata de um produto notável, mais conhecido como “o quadrado da soma de dois termos” e que a regra prática para o seu desenvolvimento é:
“o quadrado do primeiro termo, mais o dobro do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”
isto é:
a2 + 2.a.b + b2
Além disso, esse mesmo aluno consegue, facilmente, demonstrar através da propriedade distributiva a veracidade de tal regra:
( a + b ).( a +b ) = a.a + a.b + b.a + b.b = a2 + 2.a.b + b2
Mas, talvez, não imagine que esse produto notável tão famoso pudesse ser obtido através do triângulo aritmético conhecido como o “Triângulo de Pascal”:
Observando os números da terceira linha do triângulo ( 1 , 2 , 1 ) pode-se perceber que eles representam os coeficientes de a2 , a.b e b2 , ou seja: 1.a2 + 2.a.b + 1.b2.
O mais interessante, ainda, é que através do Triângulo de Pascal pode-se desenvolver, além do produto notável ( a + b )2 , outros produtos do tipo ( a + b )3 , ( a + b )4 e, assim por diante …
( a + b )3 = 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + 1.b3 ( quarta linha )
( a + b )4 = 1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 + 1.b4 ( quinta linha )
( a + b )5 = 1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5 ( sexta linha )
A partir desse momento da leitura, cabe perguntar: como os termos foram obtidos nos desenvolvimentos acima,?
Simples:
· em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a pelo termo b, isto é a.b ;
· a partir do primeiro monômio os expoentes de a vão “decrescendo” e os de b vão “crescendo”;
· a soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual ao expoente do binômio;
· o primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é zero;
· o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio;
· a expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio.
Vamos observar, por exemplo, o desenvolvimento de ( a + b )5
1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5
Na verdade, o desenvolvimento desse binômio é:
1.a5 .b0 + 5.a4.b1 + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a1.b4 + 1.a0.b5
· em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que a0 = b0= 1, a1= a , b1= b)
· expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0 (ordem decrescente)
· expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (ordem crescente)
· soma do expoentes de a e de b em cada monômio:5 (expoente do binômio)
· a expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1)
Agora, responda às perguntas:
a) Quais são as regras de construção do Triângulo de Pascal?
b) Quais são as linhas de número 7, 8 e 9 do Triângulo de Pascal?
c) Qual é o desenvolvimento do binômio ( a + b )6?
quinta-feira, 25 de novembro de 2010
terça-feira, 12 de outubro de 2010
sexta-feira, 17 de setembro de 2010
terça-feira, 7 de setembro de 2010
link:semelhança de triângulos(teoria e exercicios)
http://www.klickeducacao.com.br/materia/20/display/0,5912,POR-20-92-963-,00.html
sábado, 4 de setembro de 2010
segunda-feira, 23 de agosto de 2010
exercicios expressoes algébricas
1.Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos:
a.O dobro desse número.
b. O sucessor desse número.
c. O antecessor desse número (se existir).
d. Um terço do número somado com seu sucessor.
2.Em uma prova há, x questões que valem 3 pontos e y questões que valem 2 pontos. Dê a expressão algébrica que dá o número de pontos nessa prova.
3.Um livro custa x reais e um caderno custa y reais. Escreva a expressão algébrica que representa a quantia que você gasta na compra de um livro e três cadernos.
4.Um colégio tem, ao todo, 35 professores. Destes, y professores são do sexo masculino. Qual é a expressão algébrica que representa a quantidade de professores do sexo feminino que trabalham nesse colégio?
5.Uma caneta custa x reais. Carol comprou 5 canetas e deu 10 reais para pagar. Escreva a expressão algébrica que representa a quantia que Carol deve receber de troco.
a.O dobro desse número.
b. O sucessor desse número.
c. O antecessor desse número (se existir).
d. Um terço do número somado com seu sucessor.
2.Em uma prova há, x questões que valem 3 pontos e y questões que valem 2 pontos. Dê a expressão algébrica que dá o número de pontos nessa prova.
3.Um livro custa x reais e um caderno custa y reais. Escreva a expressão algébrica que representa a quantia que você gasta na compra de um livro e três cadernos.
4.Um colégio tem, ao todo, 35 professores. Destes, y professores são do sexo masculino. Qual é a expressão algébrica que representa a quantidade de professores do sexo feminino que trabalham nesse colégio?
5.Uma caneta custa x reais. Carol comprou 5 canetas e deu 10 reais para pagar. Escreva a expressão algébrica que representa a quantia que Carol deve receber de troco.
domingo, 22 de agosto de 2010
valor numerico expressão algebrica
e o valor que obtemos quando substituirmos as letras pelos valores solicitados.exemplos:
- Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
P = 2.5+10 = 10+10 = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28
Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
- Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:
X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22
Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.
- Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então:
Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
aplicações das expressões algébricas
as expressões algébricas tem aplicações em fórmulas matemáticas eis aqui algumas delas:
1.área do quadrado
A = x² onde x=medida do lado do quadrado
2.Área do Triângulo
A=bx h /2 onde b=base do triângulo e h=altura do triãngulo
3.Area do losango
A=(d1×d2)/2 onde d1 e d2 são diagonais do losango
4.Area do circulo
A=
r² onde r=raio do circulo
1.área do quadrado
A = x² onde x=medida do lado do quadrado
2.Área do Triângulo
A=bx h /2 onde b=base do triângulo e h=altura do triãngulo
3.Area do losango
A=(d1×d2)/2 onde d1 e d2 são diagonais do losango
4.Area do circulo
A=
r² onde r=raio do circuloorigem das expressoes algébricas
Elementos históricos
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.
uso das expressoes algébricas
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
| Expressão algébrica | Objeto matemático | Figura |
|---|---|---|
| A = b x h | Área do retângulo |  |
| A = b x h / 2 | Área do triângulo |  |
| P = 4 a | Perímetro do quadrado |  |
quinta-feira, 12 de agosto de 2010
razão
Trata-se de um conceito antigo e essencial para o conhecimento matemático que, a princípio, é usado para comparar duas quantidades ou duas medidas. Na sociedade moderna, o conceito de razão surge nos jornais e nas revistas para comunicar a concentração de pessoas em uma determinada cidade ou o fluxo de carros em um pedágio. Aparece também nas mais variadas áreas do conhecimento, sempre para melhorar a comparação de vários dados de um problema.
A palavra razão, vem do latim ratio, e significa “divisão”, isto é, razão é o quociente entre dois números. Assim, razão de um número a para um número, sendo b, diferente de zero, é o quociente de a : b. O número a é chamado antecedente e o número b é chamado conseqüente. Podemos ler a razão como: a razão de a está para b, ou a está para b, ou a para b.
Razões especiais
Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala e densidade demográfica. Outra razão que já foi muito usada nas artes e que ainda a utilizamos, é a áurea.
A razao áurea também é chamada de razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão. É freqüente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi, quociente da divisão do comprimento de uma circunferência pela medida do seu respectivo diâmetro, pode ser encontrado na proporção em conchas (o nautilus, por exemplo), seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), até na relação dos machos e fêmeas de qualquer colméia do mundo, e em inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento.
A velocidade média é uma razão muito importante para sabermos a eficiência dos transportes. Qual é a velocidade média do metrô? Qual é a velocidade média de um ônibus? Se a preocupação nesses deslocamentos for o consumo de gasolina, mudará a informação, mas o conceito de razão permanecerá.
Outra aplicação da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Usamos escala, quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
Já a concentração de pessoas em uma cidade, que é definida como densidade demográfica, é a razão da quantidade de pessoas que moram nessa cidade em relação à área.
Velocidade média
Denomina-se velocidade média de algum corpo a razão entre a distância total percorrida pelo veículo e o tempo por ele gasto para percorrê-la.
Exemplos:
1. Um trem percorreu uma distância de 453 km em 6 horas. Qual foi a velocidade média do trem nesse percurso?
Velocidade média =distância percorrida/tempo = 453Km/6h = 75,5 Km/h (a cada hora o trem percorreu 75,5 km)
2. Moacir fez o percurso Rio - São Paulo (450 km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?
450 km / 5 h =90 km / h
Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.
Escala
Define-se escala de um desenho a razão entre o comprimento considerada no desenho e o correspondente ao comprimento real, medidos com a mesma unidade.
Exemplos
1. Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 3 cm e, sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 30 km, qual a escala utilizada no mapa?
escala=3 cm / 30 km =3cm / 100000 cm*30 = 3cm /3.000.000=1:1.000.000
1km=1.000 m=1.000*100=100.000 cm
1m=100cm
A escala de 1: 1000000 significa que 1 cm no desenho corresponde a 1000000 cm no real, ou seja, a 10 km no real.
2. Um edifício tem 30m de altura. Essa medida foi representada no projeto por 15cm. Qual foi a escala usada nesse projeto?
escala = comprimento no desenho / comprimento real =15 cm / 30 m =15 cm / 3000 cm =1:200
1m=100 cm
30m =30*100cm=3000cm
15:15=1
3000 :15 =200
A escala de 1: 200 significa que 1 cm no desenho corresponde a 200 cm no real, ou seja, a 2m no real.
Densidade demográfica
Atribui-se densidade demográfica de uma região como a razão entre o número de seus habitantes e a área ocupada pela região. Ela expressa o número de habitantes por quilômetro quadrado da mesma.
Exemplos:
1. O estado de Tocantins ocupa uma área aproximada de 280000 km². De acordo com o censo realizado em 2000, o estado de Tocantins tinha uma população, aproximada, de 920000 habitantes. Qual era, então, a densidade demográfica desse Estado?
densidade demográfica = n° habitantes /área =920.000habitantes/ 280.000km² = 92 hab/ 28 km² ≅ 3,28 hab/km²
920.000 :10.000 = 92
280.000 : 10.000 = 28
92 : 28
Portanto, a densidade demográfica do estado de Tocantins era de 3,2 hab/km², aproximadamente.
2. O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km2. Determine a densidade demográfica desse Estado:
densidade demográfica = n° habitantes /área =6.701.924 hab/ 145.694 km²= 46 hab/km².
significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.
A palavra razão, vem do latim ratio, e significa “divisão”, isto é, razão é o quociente entre dois números. Assim, razão de um número a para um número, sendo b, diferente de zero, é o quociente de a : b. O número a é chamado antecedente e o número b é chamado conseqüente. Podemos ler a razão como: a razão de a está para b, ou a está para b, ou a para b.
Razões especiais
Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala e densidade demográfica. Outra razão que já foi muito usada nas artes e que ainda a utilizamos, é a áurea.
A razao áurea também é chamada de razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão. É freqüente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi, quociente da divisão do comprimento de uma circunferência pela medida do seu respectivo diâmetro, pode ser encontrado na proporção em conchas (o nautilus, por exemplo), seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), até na relação dos machos e fêmeas de qualquer colméia do mundo, e em inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento.
A velocidade média é uma razão muito importante para sabermos a eficiência dos transportes. Qual é a velocidade média do metrô? Qual é a velocidade média de um ônibus? Se a preocupação nesses deslocamentos for o consumo de gasolina, mudará a informação, mas o conceito de razão permanecerá.
Outra aplicação da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Usamos escala, quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
Já a concentração de pessoas em uma cidade, que é definida como densidade demográfica, é a razão da quantidade de pessoas que moram nessa cidade em relação à área.
Velocidade média
Denomina-se velocidade média de algum corpo a razão entre a distância total percorrida pelo veículo e o tempo por ele gasto para percorrê-la.
Exemplos:
1. Um trem percorreu uma distância de 453 km em 6 horas. Qual foi a velocidade média do trem nesse percurso?
Velocidade média =distância percorrida/tempo = 453Km/6h = 75,5 Km/h (a cada hora o trem percorreu 75,5 km)
2. Moacir fez o percurso Rio - São Paulo (450 km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?
450 km / 5 h =90 km / h
Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.
Escala
Define-se escala de um desenho a razão entre o comprimento considerada no desenho e o correspondente ao comprimento real, medidos com a mesma unidade.
Exemplos
1. Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 3 cm e, sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 30 km, qual a escala utilizada no mapa?
escala=3 cm / 30 km =3cm / 100000 cm*30 = 3cm /3.000.000=1:1.000.000
1km=1.000 m=1.000*100=100.000 cm
1m=100cm
A escala de 1: 1000000 significa que 1 cm no desenho corresponde a 1000000 cm no real, ou seja, a 10 km no real.
2. Um edifício tem 30m de altura. Essa medida foi representada no projeto por 15cm. Qual foi a escala usada nesse projeto?
escala = comprimento no desenho / comprimento real =15 cm / 30 m =15 cm / 3000 cm =1:200
1m=100 cm
30m =30*100cm=3000cm
15:15=1
3000 :15 =200
A escala de 1: 200 significa que 1 cm no desenho corresponde a 200 cm no real, ou seja, a 2m no real.
Densidade demográfica
Atribui-se densidade demográfica de uma região como a razão entre o número de seus habitantes e a área ocupada pela região. Ela expressa o número de habitantes por quilômetro quadrado da mesma.
Exemplos:
1. O estado de Tocantins ocupa uma área aproximada de 280000 km². De acordo com o censo realizado em 2000, o estado de Tocantins tinha uma população, aproximada, de 920000 habitantes. Qual era, então, a densidade demográfica desse Estado?
densidade demográfica = n° habitantes /área =920.000habitantes/ 280.000km² = 92 hab/ 28 km² ≅ 3,28 hab/km²
920.000 :10.000 = 92
280.000 : 10.000 = 28
92 : 28
Portanto, a densidade demográfica do estado de Tocantins era de 3,2 hab/km², aproximadamente.
2. O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km2. Determine a densidade demográfica desse Estado:
densidade demográfica = n° habitantes /área =6.701.924 hab/ 145.694 km²= 46 hab/km².
significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.
sábado, 7 de agosto de 2010
origem do simbolo da raiz quadrada
Claro, que a maioria deve saber que extrair a Raiz Quadrada de um número. É encontrar um número, que multiplicado por si próprio, seja o valor que está na raiz. Essa é maneira que aprendemos nas escolas.
Mas pense bem, o que a palavra "RAIZ" tem a ver com isso? Porque, em nossa língua a palavra RAIZ tem a ver com planta, árvore, mas não com número. Para isso, temos que voltar um pouco na história da matemática, para entender como surgiu a raiz quadrada de um número.
Em 1202, no livro líber abbaci (livro do ábaco ou livro de cálculo) de Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, traz da seguinte maneira, o que hoje chamamos de raiz quadrada: "radix quadratum 16 aequalis 4",
escrito em latim, que traduzindo para o português, é: "O lado do Quadrada de 16 é igual a 4". Podemos perceber que a palavra Radix não tem nada a ver com Raiz, pois, a tradução correta de Radix é Lado.
escrito em latim, que traduzindo para o português, é: "O lado do Quadrada de 16 é igual a 4". Podemos perceber que a palavra Radix não tem nada a ver com Raiz, pois, a tradução correta de Radix é Lado.
Fibonacci, trouxe essa importante informação para a Europa, graças aos estudos de obras árabes que tinha conhecido quando estava trabalhando com o seu pai no norte da Africa, como comerciante.
Agora, a origem do símbolo √ está associado ao abreviamento da palavra radix, que com o passar do tempo, foram se fazendo cópias em cima de cópias, o que acabou resultando no símbolo que usamos hoje em dia, um alongamento ou variância da letra r.
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